По регулировке тока заряда написано в даташите:
Programmable Charge Current: 1.2A Maximum
Fast Charge Current
Regulation
100 mA PROG = OPEN
1200 mA PROG = VSS
500 mA PROG = 1.6 kΩ
PROG - это пятая нога MCP73861
Основная проблема в том, что MCP73861 - это Linear Charge Management Controllers, т.е.
ЗУ с линейным регулятором тока/напряжения.
При питании от 12в, необходимо "куда-то девать" от 12 - 2,7 = 9,3в до 12 - 4,2 = 7,8в.
При токе в 1,2А имеем рассеиваемую мощность от 9,36Вт (1,2 * 7,8) до 11,1 Вт (1,2 * 9,3) на выходном транзисторе MCP73861.
Это сильно много, без хорошего радиатора, через несколько минут температура корпуса будет запредельной.
Поставить радиатор проблематично, MCP73861 не предназначена для этого.
В даташите есть типовая схема, она такая-же как и у вас, но в даташите напряжение питания 5в и никаких "гвоздей".
То что по электрическим параметрам MCP73861 может работать до 12в - это хорошо, только ток при этом должен быть сильно уменьшен. По предварительным прикидкам и 0,5А будет много.
Я молчу о КПД при питании от 12В, две третьих в тепло уходит.
А вот при питании 5в, уже все веселей, рассеиваемая мощность всего (макс) (5в-2,5в)*1,2А = 3Вт и уменьшается в процессе заряда до 0,96Вт (конец основного цикла).
В общем опять те-же грабли, или ток делать до 0,5А, или БП городить 220в -> 5в-1,5А (12в -> 5в-1,5А)
Примерно так